Question

16．已知实数x，y，z满足x＞y＞z，且x=z+1，则$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$的最小值为9．

Answer 1

分析 由条件可得x-z=1，即x-y+y-z=1，即有$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$=（$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$）•1=（$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$）•（x-y+y-z），展开，运用基本不等式，即可计算得到最小值．

解答 解：∵x=z+1，
∴x-z=1，
∴$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$=（$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$）•1=（$\frac{1}{x-y}$+$\frac{4}{y-z}$）•（x-z）
令x-y=m（m＞0），y-z=n（n＞0）
∴x-z=m+n=1，
∴原式=（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）（m+n）=$\frac{m+n}{m}$+$\frac{4（m+n）}{n}$
=1+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$+4≥2$\sqrt{4}$+5=9，
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$即n=2m=$\frac{2}{3}$，取得最小值．
故答案为：9．

点评 本题考查基本不等式的运用，注意运用乘1法，考查运算能力，属于中档题．