Question

6．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF₂为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． $（\sqrt{2}+1，+∞）$
• C． $（1，\sqrt{2}+1）$
• D． $（1，\sqrt{3}）$

Answer 1

分析 由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，所以△ABF₂为钝角三角形只要∠AF₂B为钝角即可，由此可知$\frac{{b}^{2}}{a}$＞2c，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF₂B为钝角即可，
所以有$\frac{{b}^{2}}{a}$＞2c，即2ac＜c²-a²，解出e∈（1+$\sqrt{2}$，+∞），
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率和钝角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．