Question

1．已知圆C：x²+y²=1在矩阵A=$[\begin{array}{l}a，0\\ 0，b\end{array}]$（a＞0，b＞0）对应的变换下变为椭圆x²+$\frac{y^2}{4}$=1，求a，b的值．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'₀，y'₀），代入椭圆方程，对照圆的方程即可求出a和b的值；

解答 解：设P（x₀，y₀）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'₀，y'₀），
则 $[\begin{array}{l}{{x'}_0}\\{{y'}_0}\end{array}]=[\begin{array}{l}a\;\;0\\ 0\;\;b\end{array}][\begin{array}{l}{x_0}\\{y_0}\end{array}]$，…2分$\left\{\begin{array}{l}{{x'}_0}=a\;{x_0}\\{{y'}_0}=b\;{y_0}\end{array}\right.$所以 $\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{{{{x'}_0}}}{a}\\{y_0}=\frac{{{{y'}_0}}}{b}\end{array}\right.$…4分
又因为点P（x₀，y₀）在圆C：x²+y²=1上，所以 ${x^2}_0+{y_0}^2=1$，…6分
所以 $\frac{x'_0^2}{a^2}+\frac{y'_0^2}{b^2}=1$，即 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$．
由已知条件可知，椭圆方程为${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$，…8分
所以 a²=1，b²=4，因为 a＞0，b＞0，
所以 a=1，b=2．        …10分．

点评 本题主要考查了特殊矩阵的变换，同时考查了计算能力，属于基础题．