Question

10．已知函数f（x）=（a-2）x²+（2a-3）x+2，g（x）=x+6
（1）若a=1，解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入f（x），解不等式，求出解集即可；（2）问题转化为（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，求出a的范围即可．

解答 解：（1）由a=1，f（x）≥0，
得：-x²-x+2≥0，
得不等式的解为：[-2，1]；
（2）由f（x）＜g（x）得（a-2）x²+（2a-3）x+2＜x+6，
即（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0，
①a=2时，有-4＜0，合题意；
②a≠2时，要满足（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，
则必须$\left\{{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4{{（a-2）}^2}+16（a-2）＜0}\end{array}}\right.$，
解得：-2＜a＜2，
综合①②得a的取值范围是（-2，2]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，解出解不等式，是一道中档题．