Question

8．已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）．
（1）求a₀及s_n=a₁+a₂+…+a_n；
（2）试比较s_n与（n-2）•2ⁿ+2n²的大小，并用数学归纳法给出证明过程．

Answer 1

分析 （1）取x=1，则a₀=2ⁿ；取x=2，则a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ，即可求出S_n；
（2）要比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，只要比较3ⁿ与（n-1）2ⁿ+2n²的大小，通过比较n=1，2，3，4，5时，两个代数式的大小，猜想结论，利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）取x=1，则a₀=2ⁿ；…（2分）
取x=2，则a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-2ⁿ；…（4分）
（2）要比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，
即比较：3ⁿ与（n-1）2ⁿ+2n²的大小，
当n=1时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=2，3时，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=4，5时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²
猜想：当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，…（6分）
下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4时结论成立，…（7分）
假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
两边同乘以3得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）²
即n=k+1时结论也成立，…（11分）
∴当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．…（12分）

点评 本题考查了数学归纳法的应用，证明步骤的应用，归纳推理，考查计算能力，属于中档题．