Question

7．若函数f（x）=sinⁿxsinnx+cosⁿxcosnx-cosⁿ2x，对任意x∈R都使f（x）为常数，则正整数n为3．

Answer 1

分析 分别令x=0，x=$\frac{π}{2}$，x=π，代入方程，从而求出n的值即可．

解答 解：令x=0，则f（x）=0+1-1=0，
令x=$\frac{π}{2}$，则f（x）=sin（$\frac{nπ}{2}$）+0-（-1）ⁿ=0，
令x=π，则f（x）=0+（-1）^n•cosnπ-1=0，
所以：n=3，
下面证明n=3时，满足题意，
原式=sin³xsin3x+cos³xcos3x-cos³2x
=sin³xsin（x+2x）+cos³xcos（x+2x）-cos³2x
=cos2x（sin⁴x+cos⁴x）+2sin²xcos²x（sin²x-cos²x）-cos³2x
=cos2x[sin⁴x+cos⁴x-2sin²xcos²x-（2cos²x-1）²]
=cos2x[sin⁴x-cos⁴x+2cos²x-1]
=cos2x[sin⁴x-（-sin²x）²]
=0，
故答案为：3．

点评 本题考查了简单的合情推理问题，考查三角函数求值问题，是一道中档题．