Question

20．设L为曲线C：y=$\frac{lnx}{x}$在点（1，0）处的切线．
（1）求L的方程；
（2）证明：曲线C不可能在直线L的上方．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，即可求出切线的方程；
（2）令$g（x）=x-1-\frac{lnx}{x}$，由题意，x＞0时，$g（x）=x-1-\frac{lnx}{x}≥0$恒成立，即x＞0时，x²-x-lnx≥0恒成立．

解答 （1）解：∵$y'=\frac{1-lnx}{x^2}$，∴k_切=y'|_x=1=1，故切线L的方程是y=x-1
（2）证明：令$g（x）=x-1-\frac{lnx}{x}$，由题意，x＞0时，$g（x）=x-1-\frac{lnx}{x}≥0$恒成立
即x＞0时，x²-x-lnx≥0恒成立
记h（x）=x²-x-lnx，则$h'（x）=2x-1-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$
由h'（x）=0得，$x=-\frac{1}{2}$（舍去）或x=1
当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x＞1时，h'（x）＞0∴h（x）_min=h（1）=0
故曲线C不可能在直线L的上方．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．