Question

（2012•黄浦区一模）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，有f（x）=

2 π |x-π| (x＞ π 2 ) sinx  (0≤x≤ π 2 )

关于x的方程f（x）=m（m∈R）有且仅有四个不同的实数根，若α是四个根中的最大根，则sin（

π

3

+α）=

-

1

2

．

Answer 1

分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有四个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最大根α=

3π

2

，再代入再化简，即可得到sin（

π

3

+α）的值．

解答：解：当x≥0时，函数在区间（0，

π

2

）和（π，+∞）上是增函数，在区间（

π

2

，π，）上是减函数
f（x）的极大值为f（

π

2

）=1，极小值为f（π）=0
作出函数当x≥0时的图象如右图
∵函数y=f（x）是R上的偶函数，
∴当x＜0时y=f（x）的图象与当x≥0时的图象关于y轴对称，故函数x∈R时的图象如图所示
将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有四个不同的公共点，
相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有四个不同的实数根．
令f（x）=1，得x_1，2=±

π

2

，x_3，4=±

3π

2

，所以α=

3π

2

，
∴sin（

π

3

+α）=sin（

π

3

+

3π

2

）=sin

11π

6

=-

1

2

故答案为：-

1

2

点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．