Question

已知双曲线

x2

4

-y2=1的实轴A₁A₂，虚轴为B₁B₂，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F₂折至点F，若点F在平面A₁B₁B₂内的射影恰好是该双曲线左顶点A₁，则直线B₁F与平面A₁B₁B₂所成角的正切值为

 

．

Answer 1

分析：通过双曲线方程，求出a，b，c的大小，就是OA₁，OB₁，OF，由题意画出图形，直线B₁F与平面A₁B₁B₂所成角的正切值就是

A1F

A1B1

，求解即可．

解答：解：由题意作出几何图形如图：
双曲线

x2

4

-y2=1的实轴A₁A₂，虚轴为B₁B₂，
所以a=2，b=1，c=

5

；即：OA₁=2，OB₁=1，OF=

5

；
所以直线B₁F与平面A₁B₁B₂所成角的正切值就是

A1F

A1B1

，
即：

A1F

A1B1

=

5-4

5

=

5

5

，
故答案为：

5

5

．

点评：本题是中档题，考查双曲线与几何体的关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，计算能力，题目新颖，仔细分析不难解答．