Question

如图，已知△ABC中，∠C=

π

2

．设∠CBA=θ，BC=a，它的内接正方形DEFG的一边EF在斜边AB上，D、G分别在AC、BC上．假设△ABC的面积为S，正方形DEFG的面积为T．
（1）用a，θ表示△ABC的面积S和正方形DEFG的面积T；
（2）设f(θ)=

T

S

，试求f（θ）的最大值P，并判断此时△ABC的形状；
（3）通过对此题的解答，我们是否可以作如下推断：若需要从一块直角三角形的材料上裁剪一整块正方形（不得拼接），则这块材料的最大利用率要视该直角三角形的具体形状而定，但最大利用率不会超过第（2）小题中的结论P．请分析此推断是否正确，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得AC=a•tanθ，故S=

1

2

•a•a•tanθ=

a2

2

tanθ，θ∈(0，

π

2

)．设正方形DEFG边长为m，则CG=mcosθ，BG=

m

sinθ

，由此求出BC和m，再由T=m²求得结果．
（2）化简f(θ)=

T

S

=

1 sin2θ 4 + 1 sin2θ +1 ，θ∈(0， π 2 )，

令u=

sin2θ

4

+

1

sin2θ

+1，sin2θ∈(0，1]．故当sin2θ=1时，u取得最小值，即f（θ）取得最大值，此时，sin2θ=1，θ=

π

4

．△ABC为等腰直角三角形．
（3）此推断不正确，若以如图方法裁剪，S=

a2

2

tanθ，求出m和T，代入f（θ）=

T

S

化简可得

1 tanθ 2 + 1 2tanθ +1

，θ∈(0，

π

2

)，当且仅当

tanθ

2

=

1

2tanθ

，tanθ=1，即 θ=

π

4

 时，u取得最小值1，f（θ） 的最大值为

1

2

．此时△ABC为等腰直角三角形，再由

1

2

＞

4

9

，得出结论．

解答：（1）解：∵在△ABC中，∴∠CBA=θ，BC=a．
∴AC=a•tanθ．
∴S=

1

2

•a•a•tanθ=

a2

2

tanθ，θ∈(0，

π

2

)．
设正方形DEFG边长为m，则CG=mcosθ，BG=

m

sinθ

，
∴BC=mcosθ+

m

sinθ

=a．
∴m=

asinθ

1+sinθ•cosθ

，
∴T=m2=

a2sin2θ

(1+sinθ•cosθ)2

，θ∈(0，

π

2

)．…（6分）
（2）解：由（1）可得

f(θ)= T S = a2sin2θ (1+sinθcosθ)2 • 2 a2tanθ

=

2sinθcosθ

(1+sinθcosθ)2

 
=

sin2θ 1 4 sin22θ+sin2θ+1

=

1 sin2θ 4 + 1 sin2θ +1 ，θ∈(0， π 2 )，

 
令u=

sin2θ

4

+

1

sin2θ

+1，sin2θ∈(0，1]．
∴当sin2θ=1时，u取得最小值，即f（θ）取得最大值．
∴f(θ)=

T

S

的最大值为

4

9

．此时 sin2θ=1，θ=

π

4

．∴△ABC为等腰直角三角形．…（12分）
（3）解：此推断不正确，若以如图方法裁剪，S=

a2

2

tanθ．
设正方形边长为m，∵

m

a-m

=tanθ，∴m=

atanθ

tanθ+1

，∴T=m²=(

atanθ

tanθ+1

)2．
∴f（θ）=

T

S

=

a2•tan2θ

tan2θ+2tanθ+1

•

2

a2•tanθ

=

2tanθ tan2θ+2tanθ+1 = 1 tanθ 2 + 1 2tanθ +1   ，  θ∈(0， π 2 )．

令 u=

tanθ

2

+

1

2tanθ

 ，tanθ∈(0，+∞)，
当且仅当

tanθ

2

=

1

2tanθ

，tanθ=1，即 θ=

π

4

 时，u取得最小值1．∴f（θ） 的最大值为

1

2

．
此时△ABC为等腰直角三角形．∵

1

2

＞

4

9

，
∴材料的最大利用率超过了

4

9

，∴该推断并不正确．              …（16分）

点评：本题主要考查在实际问题中运用三角函数模型，解三角形，属于中档题．