Question

9．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n=n²-9n，则数列{|a_n|}的前n项和为${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{9n-{n}^{2}，n≤4}\\{{n}^{2}-9n+40，n≥5}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 先求出a_n=2n-10，由当n≤4时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=-S_n，n≥5时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=S_n-2S₄，由此能求出结果．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和S_n=n²-9n，
∴a₁=S₁=1-9=-8，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²-9n）-[（n-1）²-9（n-1）]=2n-10，
n=1时，上式成立，
∴a_n=2n-10，
由a_n=2n-10≥0，得n≥5，
当n≤4时，数列{|a_n|}的前n项和：
T_n=-S_n=9n-n²；
当n≥5时，数列{|a_n|}的前n项和：
T_n=S_n-2S₄=n²-9n+40．
∴数列{|a_n|}的前n项和为${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{9n-{n}^{2}，n≤4}\\{{n}^{2}-9n+40，n≥5}\end{array}\right.$．
故答案为：${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{9n-{n}^{2}，n≤4}\\{{n}^{2}-9n+40，n≥5}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的各项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．