Question

7．设a为实数，函数f（x）=x²-2ax．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[0，2]上的值域；
（Ⅱ）设函数g（x）=|f（x）|，t（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求t（a）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简f（x）=（x-1）²-1，从而求函数的值域；
（Ⅱ）化简g（x）=|f（x）|=|x（x-2a）|，从而讨论以确定函数的单调性及极值，同时求出端点的函数值，从而确定t（a），再求最小值．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
∵x∈[0，2]，
∴-1≤（x-1）²-1≤0，
∴f（x）在区间[0，2]上的值域为[-1，0]；
（Ⅱ）g（x）=|f（x）|=|x（x-2a）|，
①当a≤0时，g（x）=x²-2ax在[0，2]上是增函数，
故t（a）=g（2）=4-4a；
②当0＜a＜1时，
g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，
而g（a）=a²，g（2）=4-4a，
g（a）-g（2）=a²+4a-4=（a-2$\sqrt{2}$+2）（a+2$\sqrt{2}$+2），
故当0＜a＜2$\sqrt{2}$-2时，
t（a）=g（2）=4-4a，
当2$\sqrt{2}$-2≤a＜1时，
t（a）=g（a）=a²，
当1≤a＜2时，
g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2]上是减函数，
故t（a）=g（a）=a²，
当a≥2时，
g（x）在[0，2]上是增函数，
t（a）=g（2）=4a-4，
故t（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4-4a，a＜2\sqrt{2}-2}\\{{a}^{2}，2\sqrt{2}-2≤a＜2}\\{4a-4，a≥2}\end{array}\right.$，
故t（a）的最小值为t（2$\sqrt{2}$-2）=12-8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的值域的求法，利用了配方法；同时考查了分类讨论的思想应用．