Question

19．已知动点M（x，y）在运动过程中，总满足$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）斜率存在且过点A（0，1）的直线l与轨迹E交于A，B两点，轨迹E上存在一点P满足$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义，即可求动点M的轨迹E的方程；
（2）设直线l的方程为：y=kx+1与椭圆方程联立，求出B的坐标，利用$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求出P的坐标，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{2}$表示M（x，y）与（-1，0），（1，0）的距离的和为2$\sqrt{2}$，满足椭圆的定义，且c=1，2a=2$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴动点M的轨迹E的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）设直线l的方程为：y=kx+1，B（x₁，y₁），P（x₀，y₀）．
与$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1联立，化为（1+2k²）x²+4kx=0，
∴x₁=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，y₁=$\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$
∵$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴$\sqrt{2}$（x₀，y₀）=（0，1）+（x₁，y₁），
∴x₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁=-$\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，y₀=$\frac{\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$，
代入椭圆方程可得：$\frac{1}{2}$（-$\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$）²=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线l的方程为：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点与椭圆的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．