Question

11．已知函数f（x）=x²+m，g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，若“任意x₁∈[-1，3]，存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）≥g（x₂）”是真命题，则实数m的取值范围是m≥$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由对任意x₁∈[-1，3]，存在x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂），可知f（x）_min≥g（x）_min，结合二次函数及指数函数的性质可求．

解答 解：∵对任意x₁∈[-1，3]，f（x）_min=m，
∵x₂∈[0，2]，g（x）=（${\frac{1}{2}}$）^x∈[$\frac{1}{4}$，1]
∵对任意x₁∈[-1，3]，存在x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂），
∴f（x）_min≥g（x）_min
∴m≥$\frac{1}{4}$，
故答案为：m≥$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查函数最值的应用，二次函数与指数函数的值域的求解，根据条件转化为求函数的最值问题是解决本题的关键．但是要注意不要把本题中的条件当成函数的恒成立问题．