Question

8．定义在R上的奇函数f（x），对于?x∈R，都有f（$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$-x），且满足f（5）＞-2，f（2）=m-$\frac{3}{m}$，则实数m的取值范围是{m|m＜-1，或0＜m＜3}．

Answer 1

分析 根据f（$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$-x），然后用$\frac{3}{2}$+x代换x便可得到f（3+x）=-f（x），再用3+x代换x便可得出f（x+6）=f（x），从而便得到f（x）是以6为周期的周期函数，这样即可得到不等式m-$\frac{3}{m}$＜2，解得便可得出实数m的取值范围

解答 解：∵f（$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$-x）；
用$\frac{3}{2}$+x代换x得：f（3+x）=f（-x）=-f（x）；
用3+x代换x得：f（x+6）=-f（x+3）=f（x）；
即f（x）=f（x+6）；
∴函数f（x）是以6为周期的周期函数；
∴f（5）=f（-1）＞-2，f（1）=-f（-1）=f（-1+3）=f（2）＜2；
∴m-$\frac{3}{m}$＜2；
解得m＜-1，或0＜m＜3；
∴实数m的取值范围为{m|m＜-1，或0＜m＜3}．
故答案为：{m|m＜-1，或0＜m＜3}．

点评 考查奇函数的定义，已知f（x）求f[g（x）]的方法，周期函数的定义，以及分式不等式的解法