Question

已知数列{a_n}满足a₁=31，a_n+1=a_n+2n，n∈N₊，则

an

n

的最小值是______．

Answer 1

∵数列{a_n}满足a₁=31，a_n+1=a_n+2n，n∈N₊，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+31=2×

n(n-1)

2

+31=n（n-1）+31．
∴

an

n

=n-1+

31

n

．
设函数f（x）=x+

31

x

-1，（x≥1），则f′(x)=1-

31

x2

=

x2-31

x2

，令f^′（x）=0，则x=

31

，
∴当0＜x＜

31

时，f^′（x）＜0，即函数f（x）单调递减；当x＞

31

时，f^′（x）＞0，即函数f（x）单调递增．
∴当x=

31

时，函数f（x）取得最小值．
根据以上函数f（x）的性质可知：对于

an

n

=n-1+

31

n

来说，当n=6时，此式取得最小值

61

5

．
故答案为

61

6

．