Question

20．长为a的正六边形ABCDEF在平面α内，过A点作PA⊥α，PA=a，则P到CD的距离为2a，P到BC的距离为$\frac{\sqrt{7}}{2}$a．

Answer 1

分析 先证明PC垂直于CD，然后在直角三角形PAC中利用勾股定理求出PC即可；同理先证明PQ垂直于BC，然后在直角三角形PAQ中利用勾股定理求出PQ即可求出所求．

解答 解：连接AC，CD⊥AC
∵PA⊥平面a，CD?平面a
∴PA⊥CD，而PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC，则PC⊥CD
在直角三角形PAC中，AC=$\sqrt{3}$a，PA=a，
根据勾股定理可知PC=2a
即P到CD的距离为2a；
过点A作BC的垂线交BC的延长线于点Q，连接PQ
在直角三角形PAQ中，AQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PA=a
根据勾股定理可知PQ=$\frac{\sqrt{7}}{2}$a．
∴P到BC的距离为$\frac{\sqrt{7}}{2}$a．
故答案为：2a，$\frac{\sqrt{7}}{2}$a．

点评 本题主要考查了空间点到直线的距离，以及线面垂直的判定和性质，同时考查了空间想象能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．