Question

（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分.

     已知双曲线设过点的直线l的方向向量

（1）       当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；

（2）       证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.

Answer 1

（1）双曲线C的渐近线，即           …… 2分

直线的方程                                   …… 6分

直线与m的距离                                …… 8分

   （2）设过原点且平行于的直线

       则直线与的距离，

   当时，.                                  …… 12分

   又双曲线C的渐近线为，

   双曲线C的右支在直线的右下方，

   双曲线C的右支上的任意点到直线的距离大于.      

   故在双曲线C的右支上不存在点Q到到直线的距离为   …… 16分

         假设双曲线C右支上存在点Q到到直线的距离为 ，

（2）

则 ，   （1）

由（1）得，                      …… 11分

设

当时，：

               …… 13分

将代入（2）得，

，

故在双曲线C的右支上不存在点Q到到直线的距离为   …… 16分

解析:

⑴中知道双曲线的方程可以求出渐近线方程，因为直线l和渐近线平行，所以可以确定l的方程，直线l与m方程确定，可以利用两条平行线间的距离公式求出距离.⑵是一个存在性问题，可以寻找参考对象，也可用反证法.