【题目】如图,已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
(1)证明:G是AB的中点;
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
【答案】
(1)
证明:∵P﹣ABC为正三棱锥,且D为顶点P在平面ABC内的正投影,
∴PD⊥平面ABC,则PD⊥AB,
又E为D在平面PAB内的正投影,
∴DE⊥面PAB,则DE⊥AB,
∵PD∩DE=D,
∴AB⊥平面PDE,连接PE并延长交AB于点G,
则AB⊥PG,
又PA=PB,
∴G是AB的中点;
(2)
∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形,
∴PB⊥PA,PB⊥PC,则PB⊥平面PAC,
而PB平面PAB,则平面PAB⊥平面PAC,
在平面PAB中,过E作EF⊥PA,则EF⊥平面PAC,
即F为E在平面PAC内的正投影.
由于PA=PB=PC=6,故AB=BC=AC=6 ,
易知PG= =3
,GD=
=
,由勾股定理得PD=
=2
,
【解析】(Ⅰ)根据题意分析可得PD⊥平面ABC,进而可得PD⊥AB,同理可得DE⊥AB,结合两者分析可得AB⊥平面PDE,进而分析可得AB⊥PG,又由PA=PB,由等腰三角形的性质可得证明;(2)由线面垂直的判定方法可得PB⊥平面PAC,进而由于PB平面PAB,可得平面PAB⊥平面PAC,由此可以在平面PAB中,过E作EF⊥PA,可得F为E在平面PAC内的正投影.
进而由棱锥的体积公式计算可得答案.;本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用,解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系.
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【题目】已知数列{an}满足:a1= ,an+1=
(n∈N*).
(1)求a2 , a3的值;
(2)证明:不等式0<an<an+1对于任意n∈N*都成立.
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【题目】某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],统计后得到频率分布直方图如图所示:
(1)试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到0.1);
(2)年级决定在成绩[70,100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组,对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查,则在[70,80),[80,90),[90,100]这三组分别抽取了多少人?
(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正副2个小组长,求成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率.
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【题目】如图,设椭圆C: +y2=1(a>1)
(1)求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长(用a,k表示)
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆的离心率的取值范围.
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【题目】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.
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【题目】已知函数f(x)=2sin2x-2sin2x-a.
①若f(x)=0在x∈R上有解,则a的取值范围是______;
②若x1,x2是函数y=f(x)在[0,]内的两个零点,则sin(x1+x2)=______
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【题目】已知点P(0,-2),椭圆E: 的离心率为
,F是椭圆E的右焦点,直线PF的斜率为2,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)直线l被圆O:x2+y2=3截得的弦长为3,且与椭圆E交于A、B两点,求△AOB面积的最大值.
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【题目】设函数f(x)=x+ax2+b·ln x,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a,b的值;
(2)证明:f(x)≤2x-2.
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