Question

【题目】已知m∈R，n∈R，并且m+3n=1，则mem+3ne3n的最小值 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵3n=1﹣m， ∴f（m）=mem+3ne3n=mem+（1﹣m）e1﹣m
令g（m）=mem ， h（m）=（1﹣m）e1﹣m
当m≤0时，h（m）为减函数，且h（m）≥h（0）=e，
g（m）=﹣|m|e﹣|m|由于从y=x与y=ex的图象易知，|m|≤e|m| ，
所以|m|e﹣|m|≤ ，
g（m）=﹣|m|e﹣|m|≥﹣ ，
f（m）=g（m）+h（m）≥﹣ +e，
当m≥ 时，由g（m）与h（m）关于x= 对称，同上可得f（m）≥e﹣ ，
当 0＜m＜ 时，g（0）=h（1）=0，g（1）=h（0）=e，
g′（m）=（m+1）em＞0，h′（m）=﹣（2﹣m）e1﹣m＜0
且g′（m），h′（m）均为单调递增，
当0＜m＜ 时，g′（m）＜g′（ ）= ，h′（m）＜h′（ ）=﹣ ，
f′（m）=g′（m）+h′（m）＜0单调递减，
当 ≤m＜1时，同理，可得f′（m）=g′（m）+h′（m）≥g′（ ）+h′（ ）=0单调递增
（当m= 时等号成立）
所以当m= 时，f（m）取最小值，
即当m= ，n= 时，mem+3ne3n的最小值为 ．
所以答案是： ．
【考点精析】掌握基本不等式是解答本题的根本，需要知道基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：．