Question

已知圆C经过A（2，-1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过圆C内一点P(

1

2

， -3)与圆C相交于A，B两点，当弦AB被点P平
分时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据条件设圆的方程为（x-a）²+（y+2a）²=r²，则由

(2-a)2+(-1+2a)2=r2 |a-2a-1 2 =r.

求解．
（Ⅱ）易知CP⊥AB，由kCP=

-3+2

1 2 -1

=2，得到kAB=-

1

2

，从而得直线AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意，设圆的方程为（x-a）²+（y+2a）²=r²，（1分）
∴

(2-a)2+(-1+2a)2=r2 |a-2a-1 2 =r.

（4分）
∴a=1，r=

2

．（6分）
所以（x-1）²+（y+2）²=2．（7分）

（Ⅱ）由题意得CP⊥AB，而kCP=

-3+2

1 2 -1

=2，所以kAB=-

1

2

，（10分）
从而得直线AB的方程为y+3=-

1

2

(x-

1

2

)．（12分）
所以直线AB的方程为2x+4y+11=0．（14分）

点评：本题主要考查圆的标准方程的求法及直线与圆的位置关系，属中档题．