Question

设命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定义域为R；命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切正实数x均成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：利用对数函数的定义域是R求得p真，不等式3^x-9^x＜a对一切正实数x均成立，求出q真时x的范围，再由真值表作出解答即可．

解答：解：∵命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定义域为R，
∴ax²-x+

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a＞0恒成立，⇒

a＞0 △=1-a2＜0

解得a＞1；
∵命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切正实数x均成立，令g（x）=3^x-9^x，
∵g（x）=3^x-9^x=-（3^x-

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）²+

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＜0，
∴a＞0．
∵“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，
∴命题p与命题q一真一假．
若p真q假，则a∈∅；
若p假q真，即，则0＜a≤1．
综上所述，实数a的取值范围：（0，1]．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，求得分别求得p真与q真时x的范围是关键，突出考查函数恒成立问题，属于中档题．