Question

设命题p：函数f（x）=lg（ax²+2ax+2）的定义域为R；命题q：不等式

2x+1

＜a+x对任意x≥-

1

2

均成立，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由ax²+2ax+2＞0对任意实数x均成立，分类讨论：分a=0；

a＞0 △＜0

两种情况求解a的范围即可求解p；由

2x+1

＜a+x对一切正实数均成立，利用换元法设t=

2x+1

，则x=

t2-1

2

，（t≥0），转化关于t的二次函数可求q的范围，结合复合命题的真假关系即可求解

解答：解：命题p为真命题?函数f（x）=lg（ax²+2ax+2）的定义域为R，
即ax²+2ax+2＞0对任意实数x均成立，
当a=0时，2＞0的解集为R，成立；      …（1分）
当

a＞0 4a2-8a＜0

?0＜a＜2．…（3分）
所以命题p为真命题?0≤a＜2．…（4分）
命题q为真命题?

2x+1

＜a+x对一切正实数均成立，
设t=

2x+1

，则x=

t2-1

2

，（t≥0）
∴-

t2

2

+t+

1

2

＜a，t≥0
∴y=-

t2

2

+t+

1

2

=-

1

2

(t-1)2+1，t≥0
∴y=-

t2

2

+t+

1

2

=-

1

2

(t-1)2+1≥1，t≥0
所以，命题q为真命题?a＞1．…（8分）
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p、q一真一假．…（9分）
若p为真命题，q为假命题，0≤a≤1；          …（10分）
若p为假命题，q为真命题，则a≥2．…（11分）
∴a的取值范围是a≥2或0≤a≤1．          …（12分）

点评：本题主要考查了复合命题的真假关系的判断，解题的关键是熟练应用函数及不等式的知识求解出命题p，q为真时的a的范围．