Question

设△ABC的BC边上的高AD=BC，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．
（1）求

b

c

+

c

b

的最小值及取得最小值时cosA的值；
（2）把

b

c

+

c

b

表示为xsinA+ycosA的形式，判断

b

c

+

c

b

能否等于

5

？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用基本不等式求最值，利用余弦定理得cos

A

2

=

2

5

，从而可求cosA的值；
（2）利用S_△=

bcsinA

2

=

a2

2

，可得

a2

bc

=sinA，从而可得

b

c

+

c

b

=

a2

bc

+2cosA=sinA+2cosA，再利用辅助角公式化简，即可得到结论．

解答：解：（1）

b

c

+

c

b

≥2

b c × c b

=2，当且仅当

b

c

=

c

b

，即b=c，即三角形是等腰三角形时，取得最小值2；
此时b=c=

5

2

a，由余弦定理得cos

A

2

=

a2+c2- a2 4

2ac

=

2

5

，cosA=2cos²

A

2

-1=2×

4

5

-1=

3

5

（5分）
（2）∵S_△=

bcsinA

2

=

a2

2

，∴

a2

bc

=sinA，
∴

b

c

+

c

b

=

b2+c2

bc

=

a2+2bccosA

bc

=

a2

bc

+2cosA=sinA+2cosA=

5

sin(A+φ）≤

5

，其中tanφ=2，φ∈(0，

π

2

)，当且仅当A+φ=

π

2

，即cosA=sinφ=

2

5

时，

b

c

+

c

b

取得

5

．
因为△ABC的BC边上的高AD=BC，所以b＞a，c＞a同时成立，所以a是最小的边，A∈(0，

π

3

)，所以cosA∈(

1

2

，1)
∵cosA=sinφ=

2

5

∈(

1

2

，1)
∴

b

c

+

c

b

能取得

5

．（13分）

点评：本题考查基本不等式的运用，考查利用辅助角公式化简三角函数，解题的关键是正确运用三角函数，属于中档题．