【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(﹣3)=0,当x>0时,有f(x)﹣xf′(x)>0成立,则不等式f(x)>0的解集是( )
A.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
B.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
C.(﹣3,0)∪(0,3)
D.(﹣3,0)∪(3,+∞)
【答案】A
【解析】解:设g(x)= ,
则g′(x)= ,
∵当x>0时,有f(x)﹣xf′(x)>0成立,
∴当x>0时,有xf′(x)﹣f(x)<0成立,即此时g′(x)<0,函数g(x)为减函数,
∵f(x)是定义在R上的奇函数且f(﹣3)=0,
∴f(3)=0,且g(x)是偶函数,g(3)=g(﹣3)=0,
当x>0时,f(x)>0等价为g(x)>0,即g(x)>g(3),得0<x<3,
当x<0时,f(x)>0等价为g(x)<0,即g(x)<g(﹣3),
此时函数g(x)增函数,得x<﹣3,
综上不等式f(x)>0的解集是(﹣∞,﹣3)∪(0,3),
故选:A.
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质和基本求导法则的相关知识点,需要掌握在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇;若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导才能正确解答此题.
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【题目】已知复数z=k﹣2i(k∈R)的共轭复数 ,且z﹣(
﹣i)=
﹣2i.
(1)求k的值;
(2)若过点(0,﹣2)的直线l的斜率为k,求直线l与曲线y= 以及y轴所围成的图形的面积.
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【题目】已知函数f(x)=(sinx+ cosx)2﹣2.
(1)当x∈[0, ]时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈[﹣ ,
],求函数g(x)=
f2(x)﹣f(x+
)﹣1的值域.
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【题目】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=ex , 对于实数m、n、p有f(m+n)=f(m)+f(n),f(m+n+p)=f(m)+f(n)+f(p),则p的最大值等于 .
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