Question

对a、b∈R，记max{a，b}=

a，a≥b b，a＜b

，函数f（x）=max{|x+1|，|x-2|}（x∈R）．
（1）作出f（x）的图象，并写出f（x）的解析式；
（2）若函数h（x）=x²-λf（x）在（-∞，-1]上是单调函数，求λ的取值范围．
（3）当x∈[1，+∞）时，函数h（x）=x²-λf（x）的最小值为2，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）根据|x+1|和|x-2|的大小关系，结合新定义画函数的图象，写出函数f（x）的解析式故f（x）=

x+1   x≥ 1 2 -x+2    x＜ 1 2

（2）h（x）=x²-λf（x）=

x2-λ(x+1 )  x≥ 1 2 x2-λ(-x+2)    x＜ 1 2

若在（-∞，-1]上是单调函数，则要求第二段在（-∞，-1]上是单调函数．
（3）当x∈[1，+∞）时，h（x）=x²-λ（x+1），利用二次函数图象与性质求其最小值，得出关于λ的方程求解．注意分类讨论．

解答：解：解：由|x+1|≥|x-2|⇒（x+1）²≥（x-2）²⇒x≥

1

2

，故f（x）=

|x+1|，x≥ 1 2 ||x-2|    x＜ 1 2

=

x+1   x≥ 1 2 -x+2    x＜ 1 2

其图象如右，其图象如右，
（2）h（x）=x²-λf（x）=

x2-λ(x+1 )  x≥ 1 2 x2-λ(-x+2)    x＜ 1 2

若在（-∞，-1]上是单调函数，则要求第二段在（-∞，-1]上是单调函数，对称轴x=-

λ

2

≥-1，解得λ≤2
（3）当x∈[1，+∞）时，h（x）=x²-λ（x+1）
对称轴x=

λ

2

，
当

λ

2

≤1，即λ≤2时，h（x）在[1，+∞）上单调递增，最小值为h（1）=1-2λ=2，得λ=-

1

2

当

λ

2

＞1，即λ＞2时，最小值为h（

λ

2

）=

-4λ-λ2

4

=2，此时无解
综上所述，λ=-

1

2

点评：本题考查分段函数的单调性，最大值，转化为二次函数问题．要具有阅读理解能力、转化计算能力、分类讨论的思想方法．