Question

下列函数①f(x)=

1

x

；②f（x）=sin²x；③f（x）=2^-|x|；④f（x）=tanx中，满足“存在与x无关的正常数M，使得|f（x）|≤M对定义域内的一切实数x都成立”的有（　　）

A．①②

B．③④

C．②③

D．①④

Answer 1

分析：f(x)=

1

x

的值域为（-∞，0）∪（0，+∞），①显然不满足；同样f（x）=tanx的值域为R，也不行；④由正弦函数的有界性，可判断②，由指数函数的性质可判断③，从而可得答案．

解答：解：∵f(x)=

1

x

的值域为（-∞，0）∪（0，+∞），故①不满足；
f（x）=sin²x≤1，不妨取M=2，则|f（x）|≤2对定义域内的一切实数x都成立，故②满足；
f（x）=2^-|x|；=(

1

2

)|x|≤1，显然③满足题意；
而f（x）=tanx的值域为（-∞，+∞），故④不满足．
故选C．

点评：本题考查三角函数的最值，指数函数与幂函数的性质，关键是对条件的理解与各个函数性质的掌握与应用，属于中档题．