Question

 设数列、满足，且，．  

（Ⅰ）求数列的通项公式；      

（Ⅱ）对一切，证明成立；  

（Ⅲ）记数列、的前项和分别是、，证明：.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）由，得，            …………………1分

即数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴     ……………3分

（Ⅱ）∵,  

∴要证明，只需证明， 

即证，即证明成立.  ……………………5分

构造函数，                   ……………………6分

则，当时，，即在上单调递减，

故.  ∴，即对一切都成立，

∴.                                   ……………8分  

（Ⅲ）∵，由（Ⅱ）可知，，

∴        ………………10分

利用错位相减求得：，∴. ………12分