Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣3x； （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣3，2]上的最值．

Answer 1

【答案】解：（I）∵f（x）=x3﹣3x， ∴f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．
令 f'（x）=0，得x=﹣1，x=1．
若 x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，
故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数，
若 x∈（﹣1，1），则f'（x）＜0，
故f（x）在（﹣1，1）上是减函数；
（II）∵f（﹣3）=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2，
∴当x=﹣3时，f（x）在区间[﹣3，2]取到最小值为﹣18．
∴当x=﹣1或2时，f（x）在区间[﹣3，2]取到最大值为2
【解析】（Ⅰ）先求出函数f（x）=x3﹣3x的导函数f′（x），分别令f′（x）＞0和f′（x）＜0便可求出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）分别求出两个短点f（﹣3）和f（2）的值以及极值f（﹣1）和f（1）的值，比较一下便可求出f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值和最小值．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．