Question

2．已知数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+2•3ⁿ+1，a₁=3，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过将等式a_n+1=3a_n+2•3ⁿ+1两边同时除以3ⁿ⁺¹、化简可知$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，利用累加法计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=3a_n+2•3ⁿ+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$=$\frac{3{a}_{n}+2•{3}^{n}+1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{3}^{n}}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$-$\frac{{a}_{n-2}}{{3}^{n-2}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$-$\frac{{a}_{1}}{3}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$，
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-$\frac{{a}_{1}}{3}$=$\frac{2}{3}$（n-1）+$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$
=$\frac{2}{3}$（n-1）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2}{3}$（n-1）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{3}^{n}}$）+$\frac{{a}_{1}}{3}$
=$\frac{2}{3}$（n-1）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{3}^{n}}$）+1
=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
∴a_n=[$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{3}^{n}}$）]•3ⁿ
=$\frac{4n+3}{6}$•3ⁿ-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．