Question

3．已知数列{a_n}中，a₁=1，（n+1）a_n=na_n+1，则数列{a_n}的通项公式a_n=n．

Answer 1

分析 通过变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，累乘计算即得结论．

解答 解：∵（n+1）a_n=na_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{n}{1}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=n，
故答案为：n．

点评 本题考查数列的通项，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．