Question

已知定点F（

p

2

，0）与定直线l：x=-

p

2

(p≥0)动圆C经过点F且与l相切．
（1）试求动圆圆心C的轨迹E和E的轨迹方程．
（2）在（1）的条件下，若p≠0，过E的焦点作直线m交E于A，B两点，O为原点，求∠AOB得最大值．

Answer 1

分析：（1）设动圆圆心C的坐标为（x，y），由圆C经过点F且与l相切，可得

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|，整理可得y²=2px，分p=0和p＞0讨论，可得C的轨迹
（2）设直线m的方程为ky=x-

p

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）．由韦达定理及向量夹角公式，结合余弦函数的单调性，利用反三角函数可求出∠AOB得最大值

解答：解：（1）设动圆圆心C的坐标为（x，y）
∵圆C经过点F且与l相切
∴

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|
∴y²=2px（p≥0）
①p=0，C的轨迹为x轴，方程为y=0
②p≠0，C的轨迹为抛物线，方程为 y²=2px（p＞0）…（6分）
（2）设直线m的方程为ky=x-

p

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）．
由

ky=x- p 2 y2=2px

得y²-2kpy-p²=0
则y₁+y₂=2kp，y₁y₂=-p²，
∴x₁+x₂=（2k²+1）p，x₁x₂=

p2

4

∴cos∠AOB=

-3

16k2+25

≥-

3

5

故∠AOB的最大值为π-arccos

3

5

…（12分）

点评：本题主要考查抛物线的简单性质，余弦定理的应用，要理解好抛物线的定义，根据点到焦点和到准线的距离相等解题，属于难题．