Question

已知定点F（

p

2

，0），（p＞0）定直线l：x=

p

2

，动点M（x，y）到定点的距离等于到定直线l的距离．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）动点M的轨迹上的点到直线3x+4y+12=0的距离的最小值为1，求p的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得：

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|，两边平方即可求动点M的轨迹方程；
（2）设A（x₀，y₀）为抛物线y²=2px，（p＞0）上任意一点，则A到直线3x+4y+12=0的距离为d，利用d_min=1可得到关于p的不等式，解之即可．

解答：解：（1）∵定点F（

p

2

，0）（p＞0），定直线l：x=-

p

2

，动点M（x，y）到定点的距离等于到定直线l的距离，
∴

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|，
∴动点M的轨迹方程为y²=2px，（p＞0）（4分）
（2）将直线3x+4y+12=0平移到与曲线y²=2px（p＞0）相切，切点设为A（x₀，y₀），
则A到直线3x+4y+12=0的距离为1．设切线方程为：3x+4y+t=0，
由

3x+4y+t=0 y2=2px (p＞0)

消去x得：3y²+8py+2pt=0，
△=64p²-4×3×2pt=0，p＞0，
∴t=

8

3

p…（6分）
∴点A到直线3x+4y+12=0的距离就是两平行线3x+4y+12=0与3x+4y+t=0的距离，为1，
∴d=

|t-12|

5

=

| 8p 3 -12|

5

=1，
∴p=

21

8

或p=

51

8

…（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，着重考查抛物线的定义及其应用与配方法求最值，属于难题．