Question

7．已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）=（a+2）x-3在（$\frac{1}{2}$，2）内有解，求实数a的取值集合（记为集合A）；
（3）在（2）中的A中存在实数a使y=af（x）的图象与y=x+b的图象恒有两不同的交点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先令x=1，y=0即可求f（0），再令y=0，即可求 f（x）的解析式，
（2）分离参数，构造函数，g（x）=x+$\frac{1}{x}$-1，利用函数的单调性求出函数的值域，问题得以解决，
（3）根据△＞0，得到9a²-2a+1+4ab＞0，再利用函数的单调性即可求出b的范围．

解答 解：（1）令x=1，y=0得f（1+0）-f（0）=2，
又f（1）=0，可得f（0）=-2，
y=0，可得f（x）-f（0）=x（x+1），
所以f（x）=x²+x-2，
（2）f（x）=x²+x-2=（a+2）x-3，
∴ax=x²-x+1，
∵x∈（$\frac{1}{2}$，2），
∴a=x+$\frac{1}{x}$-1，
令g（x）=x+$\frac{1}{x}$-1，
当x∈（$\frac{1}{2}$，1]时，g（x）单调递减；x∈[1，2]时，g（x）单调递增．
又g（$\frac{1}{2}$）=g（2）=$\frac{3}{2}$，g（1）=1，
∴g（x）∈[1，$\frac{3}{2}$），
∴A=[1，$\frac{3}{2}$）；
（3）由a（x²+x-2）=x+b，得ax²+（a-1）x-2a-b=0有两不等实根．
依题意有△=（a-1）²+4a（2a+b）＞0，
∴9a²-2a+1+4ab＞0，
∴存在a∈[1，$\frac{3}{2}$），使-4b＜9a+$\frac{1}{a}$-2成立，
当a∈[1，$\frac{3}{2}$），9a+$\frac{1}{a}$-2单调递增，
且a=$\frac{3}{2}$时，9a+$\frac{1}{a}$-2=$\frac{73}{6}$，
∴-4b＜$\frac{73}{6}$，
∴b＞-$\frac{73}{24}$．

点评 本题考查了抽象函数的问题，以及参数的取值范围，恒成立的问题，关键是构造函数，利用函数的单调性，属于中档题．