Question

16．已知两直线l₁：x-2y+4=0和l₂：x+y-2=0的交点为P．
（1）直线l过点P且与直线5x+3y-6=0垂直，求直线l的方程；
（2）圆C过点（3，1）且与l₁相切于点P，求圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）联立方程组，求出直线l₁：x-2y+4=0和l₂：x+y-2=0的交点，再求出直线l的斜率，可得直线l的方程；
（2）设圆方程为标准方程，求出圆心与半径，即可求得圆的方程．

解答 解：（1）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得x=0，y=2，
∴直线l₁：x-2y+4=0和l₂：x+y-2=0的交点P（0，2），
又∵直线5x+3y-6=0的斜率为-$\frac{5}{3}$，∴直线l的斜率为$\frac{3}{5}$，
∴直线l的方程为y-2=$\frac{3}{5}$（x-0），化为一般式可得3x-5y+10=0．
（2）设圆方程为标准方程（x-a）²+（y-b）²=r²，
∴a²+（b-2）²=（a-3）²+（b-1）²=$\frac{|a-2b+4|}{\sqrt{5}}$=r²，
∴a=1，b=0，
∴圆的方程为（x-1）²+y²=5．

点评 本题考查直线、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．