Question

某地区有三座工厂分别位于△ABC的三个顶点，已知、．为了处理三个工厂的污水，现要在△ABC区域内（不包括边界）且与B、C等距的一点O处建立一个污水处理厂，并铺设排污管道OA、OB、OC．
（1）设OA=xkm，若要使排污管道总长不超过11km，求x的取值范围；
（2）设∠OBC=θ，当排污管道总长取最小值时，求θ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设BC中点为D，由AB=AC及OB=OC知，O点在线段AD上，设OA=xkm，求出AD，若要使排污管道总长不超过11km，即OA+OB+OB≤11，解不等式即可求x的取值范围；
（2）设∠OBC=θ，求出排污管道总长的表达式，求出取最小值时的θ值即可．
解答：解：（1）设BC中点为D，由AB=AC及OB=OC知，O点在线段AD上
km
设AO=x，则0＜x＜3…（2分）
由OA+OB+OB≤11知…（3分）
即
平方化简有：3x²-2x-1≤0…（5分）又  0＜x＜3
故0＜x≤1…（6分）
（2）设∠OBC=θ，则、
∴
则…（8分）
令得
故k²≥3，又k＞0，故…（10分）
则
此时有：，即得
又，故
故…（12分）
（若由（1）知得平方化为x的二次方程△≥0得L_min亦可．）
点评：本题是中档题，考查函数的实际应用，三角函数的化简求值，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力．