练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    某地区有三座工厂分别位于△ABC的三个顶点，已知AB=AC=
    		30
    km    、BC=2
    		21
    km    ．为了处理三个工厂的污水，现要在△ABC区域内（不包括边界）且与B、C等距的一点O处建立一个污水处理厂，并铺设排污管道OA、OB、OC．
    （1）设OA=xkm，若要使排污管道总长不超过11km，求x的取值范围；
    （2）设∠OBC=θ，当排污管道总长取最小值时，求θ的值．
    分析：（1）设BC中点为D，由AB=AC及OB=OC知，O点在线段AD上，设OA=xkm，求出AD，若要使排污管道总长不超过11km，即OA+OB+OB≤11，解不等式即可求x的取值范围；
    （2）设∠OBC=θ，求出排污管道总长的表达式，求出取最小值时的θ值即可．
    解答：解：（1）设BC中点为D，由AB=AC及OB=OC知，O点在线段AD上
    AD=
    		AB2-BD2
    =
    		30-21
    =3    km
    设AO=x，则0＜x＜3…（2分）OC=OB=
    		21+(3-x)2
    =
    		30-6x+x2

    由OA+OB+OB≤11知x+2
    		30-6x+x2
    ≤11    …（3分）
    即2
    		30-6x+x2
    ≤11-x
    平方化简有：3x2-2x-1≤0…（5分）-
    1
    3
    ≤x≤1    又  0＜x＜3
    故0＜x≤1…（6分）
    （2）设∠OBC=θ，则BO=
    		21
    cosθ
    、OD=
    		21
    sinθ
    cosθ

    ∴OA=3-
    		21
    sinθ
    cosθ

    则L=OA+OB+OC=3+
    		21
    ×
    2-sinθ
    cosθ
    …（8分）
    令k=
    2-sinθ
    cosθ
    得2=kcosθ+sinθ≤
    		k2+1

    故k2≥3，又k＞0，故k≥
    		3
    …（10分）
    则Lmin=3+
    		21
    •
    		3
    =3+3
    		7

    此时有：
    2-sinθ
    cosθ
    =
    		3
    ，即
    		3
    cosθ+sinθ=2    2sin(θ+
    π
    3
    )=2    得sin(θ+
    π
    3
    )=1
    又θ∈(0，
    π
    2
    )    ，故θ+
    π
    3
    =
    π
    2

    故θ=
    π
    6
    …（12分）
    （若由（1）知L=x+2
    		30-6x+x2
    得L-x=2
    		30-6x+x2
    平方化为x的二次方程△≥0得Lmin亦可．）
    点评：本题是中档题，考查函数的实际应用，三角函数的化简求值，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：2009-2010学年湖北省“9+4”联合体高一（下）期中数学试卷（解析版） 题型：解答题

    某地区有三座工厂分别位于△ABC的三个顶点，已知、．为了处理三个工厂的污水，现要在△ABC区域内（不包括边界）且与B、C等距的一点O处建立一个污水处理厂，并铺设排污管道OA、OB、OC．
    （1）设OA=xkm，若要使排污管道总长不超过11km，求x的取值范围；
    （2）设∠OBC=θ，当排污管道总长取最小值时，求θ的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：湖北省重点中学2009-2010学年高一下学期期中联考 题型：解答题

     某地区有三座工厂分别位于△ABC的三个顶点，已知、. 为了处理三个工厂的污水，现要在△ABC区域内（不包括边界）且与B、C等距的一点O处建立一个污水处理厂，并铺设排污管道OA、OB、OC.

    （1）设，若要使排污管道总长不超过11 km，求x的取值范围；

    （2）设，当排污管道总长取最小值时，求的值.

     

     

     

     

     

     

     

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案