如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2．
（1）求异面直线A₁C与B₁C₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求三棱锥C-ABC₁的体积 $数学公式$ ．

解：（1）连接A₁B，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁B₁∥CB，
∴

∠A₁CB（或其补角）是异面直线A₁C与B₁C₁所成角．
∵四边形AA₁C₁C与AA₁B₁B都是边长为2的正方形
∴ $\text{[math]}$ ，
△A₁CB中根据余弦定理，得cos∠A₁CB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
因此，∠A₁CB= $\text{[math]}$ ，
即异面直线A₁C与B₁C₁所成角的大小为 $\text{[math]}$ ．
（2）由题意得
∵△ABC的面积S_△ABC= $\text{[math]}$ ，高CC₁=2
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V=S_△ABC×CC₁=2 $\text{[math]}$
而三棱锥C₁-ABC与正三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高
∴三棱锥C₁-ABC的体积为 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴三棱锥C-ABC₁的体积为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接A₁B，由三棱柱的性质得C₁B₁∥CB，从而得到∠A₁CB（或其补角）是异面直线A₁C与B₁C₁所成角．然后在△A₁CB中计算出各边的长，再根据余弦定理算出cos∠A₁CB= $\text{[math]}$ ，即可得到异面直线A₁C与B₁C₁所成角的大小；
（2）由棱柱体积公式，算出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为2 $\text{[math]}$ ，而三棱锥C₁-ABC与正三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高，得到 $\text{[math]}$ ，由此不难得到三棱锥C-ABC₁的体积 $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题给出所有棱长均相等的正三棱柱，求异面直线所成角并求三棱锥的体积，着重考查了异面直线所成角的求法和锥体、柱体体积公式等知识，属于中档题．

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