Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点。

（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证：AC₁//平面CDB₁；
（Ⅲ）求异面直线 AC₁与 B₁C所成角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长BC=3，BA=4AB=5，
∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，
∴AC⊥BC₁。
（Ⅱ）证明：设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE//AC₁，
∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，
∴AC₁//平面CDB₁。
（Ⅲ）解：∵DE//AC₁，
∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角，
在△CED中，ED=AC₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，
∴，
∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值是。