Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n．且a_n=$\frac{2}{3}$S_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推关系得到数列{a_n}是公比q=3的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法进行求和即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n=$\frac{2}{3}$S_n+1，
∴当n≥2时，a_n-1=$\frac{2}{3}$S_n-1+1，两式相减得
a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}$S_n+1-$\frac{2}{3}$S_n-1-1=$\frac{2}{3}$a_n，
即$\frac{1}{3}$a_n=a_n-1，
则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，
则数列{a_n}是公比q=3的等比数列，
当n=1时，a₁=$\frac{2}{3}$a₁+1，得a₁=3，
则a_n=3•3^n-1=3ⁿ，
即数列的通项公式为a_n=3ⁿ；
（Ⅱ）b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{lo{g}_{3}{3}^{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$，
则求数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
则$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
两式相减得$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}•（1-（\frac{1}{3}）^{n}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$）ⁿ-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
则T_n=$\frac{1}{3}$-（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹-$\frac{2n}{{3}^{n+2}}$．

点评 本题主要考查数列通项公式和数列求和的计算，根据数列的递推关系求出数列的通项公式以及利用错位相减法是解决本题的关键．