Question

17．如果一个正方形的四个项点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为2的锐角△ABC的内接正方形面积的最大值为1．

Answer 1

分析 先求正方形的边长，而图中有三角形相似，利用相似三角形的对应高之比等于相似比而求出正方形的边长，最后利用基本不等式求出正方形面积的最大值．

解答 解：如图，作AN⊥BC于N交GF与M，
∵四边形GDEF是正方形
∴GF=GD=MN，GF∥BC
∴△AGF∽△ABC
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{GF}{BC}$．
设正方形的边长为x．
∴$\frac{h-x}{h}$=$\frac{x}{a}$
解得x=$\frac{ah}{a+h}$．
由于三角形的面积为2，
∴ah=4，
∴x=$\frac{ah}{a+h}$=$\frac{4}{a+h}$≤$\frac{4}{2\sqrt{ah}}$=1，当且仅当a=h时取等号，
∴△ABC的内接正方形面积的最大值为1²=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及基本不等式，重点是相似三角形的对应高之比等于相似比的运用，属于中档题．