Question

5．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为$\sqrt{3}$，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． π+2
• C． $\frac{π}{3}$+2$\sqrt{3}$
• D． $\frac{4π}{3}$+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意求出圆台所在圆锥的母线长，利用弧长公式求出圆心角，把最短路程转化为三角形的边长求解．

解答 解：沿母线AD剪开并展开如图，
∵圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为$\sqrt{3}$，
∴OB=4，OE=2．
设展开图的圆心角为α，则2π•1=2α，
∴α=π，
∴∠AOE=90°，
∴AE=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$．
∴经过的最短路程为2$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题考查旋转体表面上的最短距离问题，该类问题的解法是：首先剪展，然后在三角形中借助于正弦定理或余弦定理求解，是中档题．