Question

7．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=2，DC=$\sqrt{2}$，E，F分别为PD，PC的中点，且BE与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（I）求证：平面PAB⊥平面PBD；
（Ⅱ）求面PAB与面EFB所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出∠EBD是BE与平面ABCD所成角，从而tan∠EBD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再求出BD⊥CD，AB⊥BD，从而PD⊥AB，进而AB⊥平面PBD，由此能证明平面PAB⊥平面PBD．
（Ⅱ）以D为原点，分别以DB，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面PAB与面EFB所成二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵PD⊥底面ABCD，∴∠EBD是BE与平面ABCD所成角，
∴tan∠EBD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵E是PD的中点，PD=2，∴DE=1，BD=$\sqrt{2}$，
在△BDC中，BD=DC=$\sqrt{2}$，BC=2，∴BD²+CD²=BC²，
∴∠BDC=90°，即BD⊥CD，
∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AB，
∵PD∩BD=D，∴AB⊥平面PBD，
∵AB?面PAB，∴平面PAB⊥平面PBD．
解：（Ⅱ）以D为原点，分别以DB，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
B（$\sqrt{2}$，0，0），A（$\sqrt{2}，-\sqrt{2}$，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{PA}=（\sqrt{2}，-\sqrt{2}，-2）$，$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{2}，0，-2）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=\sqrt{2}x-\sqrt{2}y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}x-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}=（\sqrt{2}，0，1）$，
设$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）是平面BEF的法向量，
∵$\overrightarrow{BE}=（-\sqrt{2}，0，1）$，$\overrightarrow{BF}=（-\sqrt{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-\sqrt{2}a+c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-\sqrt{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}b+c=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\sqrt{2}$），
设面PAB与面EFB所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴面PAB与面EFB所成二面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．