Question

2．假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：x=2，3，4，5，6分别对应y=2.2，3.8，5.5，6.5，7.0．若资料知，y对x呈线性相关关系，试求：
（1）$\overline{x}$，$\overline{y}$及回归直线方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
提示：回归直线方程y=bx+a，b=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b，根据样本中心点一定在线性回归直线上，求出a的值，写出线性回归方程；
（2）当自变量为10时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值．

解答 解：（1）$\overline x$=（2+3+4+5+6）÷5=4$\overline y$=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）÷5=5$\sum_{i=1}^5{_{\;}^{\;}}$$\sum_{i=1}^5{x_i^2={2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}}=90$$\sum_{i=1}^5{x_i^2={2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}}=90$$\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=2*2.2+3*3.8+4*5.5+5*6.5+6*7.0=112.3$
∴回归系数b=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23，a=5-1.23×4=0.08
∴回归直线方程为y=1.23x+0.08
（2）当x=10时，y=1.23*10+0.08=12.38（万元）
即估计用10年时间时，维修费用约为12.38万元．

点评 本题考查线性回归方程的求解和应用，是一个基础题，解题的关键是正确应用最小二乘法来求线性回归方程的系数