Question

设

a

=（cosα，（λ-1）sinα），

b

=（cosβ，sinβ）（λ＞0，0＜α＜β＜π）是平面上的两个向量，且

a

+

b

与

a

-

b

互相垂直．
（1）求λ的值；
（2）若

a

• 

b

=

4

5

，tanβ=

4

3

，求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）由

a

+

b

⊥

a

-

b

得，（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0，代入数据计算，可求得λ的值；
（2）由（1）知，λ=2，且

a

• 

b

=

4

5

，可得cos（α-β），进而得sin（α-β），tan（α-β）的值，又知tanβ，
则tanα可表示为tan[（α-β）+β]，由此求出结果．

解答：解：（1）由题设，得
(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=|

a

|2-|

b

|2=cos²α+（λ-1）²sin²α-cos²β-sin²β=1-sin²α+（λ-1）²sin²α-1=（λ-1）²sin²α-sin²α；
∵

a

+

b

与

a

-

b

垂直，∴（λ-1）²sin²α-sin²α=0，即 λ（λ-2）sin²α=0，且0＜α＜π，∴sin²α≠0，
又 λ＞0，故 λ-2=0，∴λ=2；
（2）当

a

+

b

与

a

-

b

垂直时，

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），∴

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β），
∴cos（α-β）=

4

5

 （0＜α＜β＜π），即-

π

2

＜α-β＜0，∴sin（α-β）=-

3

5

，tan（α-β）=-

3

4

，
∴tanα=tan[（α-β）+β]=

tan(α-β)+tanβ

1-tan(α-β)tanβ

=

- 3 4 + 4 3

1-(- 3 4 )×  4 3

=

7

24

．

点评：本题考查了平面向量的数量积运算，同角的三角函数关系，两角和与差的正弦，余弦，正切等知识；也考查了计算能力，属于中档题．