Question

下面有5个命题：
①数列{a_n}是等差数列的充要条件是a_n=pn+q（p≠0）
②如果一个数列{a_n}的前n项和S_n=abⁿ+c（a≠0，b≠0，b≠1），则此数列是等比数列的充要条件是a+c=0
③若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的逆否命题；
④函数f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函数，其定义域为[a-1，2a]，则f(x)在(-

2

3

，-

1

3

)上是减函数；
⑤向量

AB

=(3，4)按向量

a

=(1，2)平移后为（2，2）
其中真命题的编号是

②③④

（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析：根据等差数列{a_n}公差为0的情况，得到反例说明①的充分性不成立而错误；根据等比数列的通项与性质，结合已知S_n求的a_n方法，通过正反论证可得②正确；根据四种命题的定义及其相互关系，得到③正确；根据函数奇偶性的定义和二次函数单调性的结论，得到④正确；根据向量的定义和平移的规律，得到⑤错误．由此不难得到正确选项．

解答：解：对于①，若数列{a_n}是等差数列，若它的公差d=0
则它的通项是a_n=a₁（常数），此时a_n=pn+q（p≠0）不能成立，
说明充分性不成立，不是充要条件，故①错误；
对于②，数列{a_n}的前n项和S_n=abⁿ+c
可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ab^n-1（b-1）
当n=1时，a₁=S₁=ab+c
接下来讨论充分性与必要性
若a+c=0，则ab+c=a（b-1）=ab^1-1（b-1），
可得数列的通项为a_n=a（b-1）b^n-1，
∵a≠0，b≠0，b≠1
∴数列{a_n}构成以a（b-1）为首项，公比为b的等比数列．故充分性成立；
反之，若此数列是等比数列，得
∵当n≥2时，a_n=ab^n-1（b-1），公比为b
∴a₂=ab¹（b-1）=ba₁=b（ab+c）
∴-ab=bc⇒b（a+c）=0
∵b≠0，
∴a+c=0，故必要性成立，说明②正确；
对于③，设命题p：“若A，则B”
则命题p的逆命题q：“若B，则A”，且命题p的否命题r：“若非A，则非B”，
可见q是r的逆否命题，故③正确；
对于④，
∵函数f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函数，其定义域为[a-1，2a]，
∴f（-x）=ax²-bx+3a+b=f（x）且a-1+2a=0
∴b=0且a=

1

3

，得函数表达式为f（x）=

1

3

x²+1
在区间（-∞，0）上是减函数，所以f（x）在(-

2

3

，-

1

3

)上是减函数
故④正确；
对于⑤，因为向量平移后，终点和起点都发生了同样的平移，
故向量的大小与方向均没有变化，故向量

AB

=(3，4)按向量

a

=(1，2)平移后坐标仍为（3，4），故⑤错误．
故答案为②③④

点评：本题借助于充要条件的判断和命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性与单调性、等差数列和等比数列的通项与性质和向量平移等知识点，属于中档题．