Question

已知三点A（0，a），B（b，0），C（c，0），b+c≠0，a≠0，矩形EFGH的顶点E、H分别在△ABC的边AB、AC上，F、G都在边BC上，不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，那么直线l的方程是

 

．

Answer 1

分析：因为不管矩形EFGH如何变化，它的对角线EG、HF的交点P恒在一条定直线l上，故取两种特殊情况分别求出相应的P点坐标即可求出直线l的方程，方法是：E和H分别为|AB|和|AC|的中点或三等份点，分别求出E、F、G、H四点的坐标，然后利用相似得到相应的P点、P′点坐标，根据P和P′的坐标写出直线方程即为定直线l的方程．

解答：解：①当E、H分别为|AB|和|AC|的中点时，
得到E（

b

2

，

a

2

），F（

b

2

，0），H（

c

2

，

a

2

），G（

c

2

，0）
则|PQ|=

a

4

，|FQ|=

1

2

|EH|=

1

4

|BC|=

1

4

（c-b），
而|FO|=-

b

2

，所以|OQ|=|FQ|-|OF|=

1

4

（c-b）+

b

2

=

c+b

4

，所以P（

c+b

4

，

a

4

）；
②当E、H分别为|AB|和|AC|的三等份点时，
得到E（

b

3

，

2a

3

），F（

b

3

，0），H（

c

3

，

2a

3

），G（

c

3

，0）
则|PQ|=

a

3

，|FQ|=

1

2

|EH|=

1

6

|BC|=

1

6

（c-b），而|FO|=-

b

3

，
所以|OQ|=|FQ|-|OF|=

1

6

（c-b）+

b

3

=

c+b

6

，所以P′（

c+b

6

，

a

3

）．
则直线PP′的方程为：y-

a

4

=

a 3 - a 4

c+b 6 - c+b 4

（x-

c+b

4

），化简得y=

a

2

-

a

b+c

x
故答案为：y=

a

2

-

a

b+c

x

点评：此题考查学生灵活运用三角形相似得比例解决数学问题，会根据两点坐标写出直线的一般式方程，是一道中档题．