Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=n（n+1），正项数列{b_n}满足b_n+2=

b2n+1

bn

，且b₁b₃=4，b₄=8．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项；
（2）数列{c_n}满足c_n=a_nb_n，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}的前n项和为S_n=n（n+1），利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

能求出数列{a_n}的通项；由正项数列{b_n}满足b_n+2=

b2n+1

bn

，且b₁b₃=4，b₄=8，利用等比数列的性质能求出数列{b_n}的通项．
（2）由（1）和题设件，利用错位相减法能求出数列{a_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n=n（n+1），
∴当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
∵a₁=1满足a_n=2n，
∴a_n=2n．
∵正项数列{b_n}满足b_n+2=

b2n+1

bn

，
∴{b_n}是等比数列，设其公比为q，且q＞0
∵且b₁b₃=4，b₄=8，
∴

b12q2=4 b1q3=8

，解得b₁=1，q=2，
∴bn=2n-1．
（2）由（1）知c_n=a_nb_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
∴Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
由①-②得：
-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹+2-2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．