Question

若以曲线y=f（x）任意一点M（x，y）为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N（x₁ y₁），以点N为切点作切线l₁，且l∥l₁，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为______．（写出所有满足条件的函数的编号）
①y=x³-x    
②y=x+

1

x

   
③y=sina
④y=（x-2）²+lnx．

Answer 1

由题意得，曲线具有可平行性的条件是：方程y′=a（a是导数值）至少有两个根，
①、由y′=3x²-1知，当y′=-1时，x的取值唯一，只有0，不符合题意；
②、由y′=1-

1

x2

=a（x≠0且a≠1），即

1

x2

=1-a，此方程有两不同的个根，符合题意；
③、由y'=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（-1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意；
④、由y'=2x-4+

1

x

（x＞0），令2x-4+

1

x

=a，则有2x²-（4+a）x+1=0，当△=0时解唯一，不符合题意，
故答案为：②③．