Question

已知函数f（x）=m+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ+a_n+1xⁿ⁺¹，n∈N*。
（1）若f（x）=m+x²+x³。
①求以曲线y= f（x）上的点P（1，f（1））为切点的切线的斜率；
②若函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且点（x₁，f（x₁））在第二象限，点（x₂，f（x₂））位于y轴负半轴上，求m的取值范围。
（2）当a_n=时，设函数f（x）的导函数为f'（x），令T_n=，证明：T_n≤f'（1）-1。

Answer 1

解：（1）由得
①曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线的斜率k=f'（1）=2；
②f'（x）=x+x²=x（x+1）
由f'（x）<0，得-1＜x＜0，
由f'（x）>0得x<-1或x>0
由题意，
即
解得
故m的取值范围为。
（2）∵

∴


∴

∴
要证T_n≤f'（1） -1，其中n∈N*
即证
当n=1时，T₁=1，f'（1）-1=1，
此时，T_n=f'（1）-1成立，
当n=2时，
不等式T_n＜f'（1）-1成立
当n≥3时，
而

∵
∴
∴当n≥3时，
即
∴当n≥3时，不等式也成立，
综上所述，对任意的n∈N*，不等式T_n≤f'（1）-1成立。